胜通能源设立具身智能科技新公司
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惯性是物体保持原有运动状态（静止或匀速直线运动）、抵抗状态改变的固有属性，是物质的基本禀性，在任何条件下均存在，与是否受力、是否运动无关。
牛顿第一定律：任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
惯性大小仅由质量决定，质量越大，惯性越大，改变运动状态越难。
惯性≠力，比如可以说 “物体由于惯性，在运动” 而非 “受到惯性力，在运动”。
惯性与速度无关，比如高速行驶的汽车惯性由质量决定，高速仅增加动量与动能，不改变惯性本身。
“矩” 是从拉丁语 momentum 演变而来，最初在力学中表示使物体转动的效应，后来延伸为数学上描述分布状态的核心概念。
矩的核心逻辑是以某参考点或轴为基准，用 “距离” 加权衡量物理量的分布。
矩的本质是「距离的某次幂 × 物理量」的积分或求和。
按 “距离的幂次” 可分为不同阶矩：
详细解释一下不同阶的矩。
零阶矩：距离的 0 次幂（即 1）× 物理量，本质是物理量的总和（比如物体总质量）；
已知：
求：物体的零阶矩
解：
物体的零阶矩是：
通过上面的公式可见：
一阶矩：距离的 1 次幂 × 物理量，描述物理量的 “位置中心”（比如质心，就是质量的一阶矩除以总质量）；
已知条件同上面的零阶矩。
求：物体的一阶矩
解：
物体的一阶矩是：
由此可见：
解释一下为什么会有这种距离加权质量的概念。
假设我把2个小球放在跷跷板的两端，若想让跷跷板保持水平，那我应该如何放置跷跷板的支点？
支点位置的移动，实际上就是在对小球的质量做加权。
通过这个支点，大家应该可以联想到质心的概念。
若把跷跷板理解为一条坐标轴，那么支点在此轴上的位置，就是两个小球在此轴上的质心位置。
质心，就是质量的一阶矩除以总质量。
以小球A和小球B构成的物体为例，物体的质心位置就是：
二阶矩：距离的 2 次幂 × 物理量，描述物理量相对参考点或轴的分散程度—— 而惯性矩，就是“质量的二阶矩”。
已知条件同上面的零阶矩。
求：物体的二阶矩
解：
物体的二阶矩是：
由此可见：
大家可以想象一列等距的点绕圆心转一圈的样子：
点距离圆心越远，离散程度越大。
惯性矩是质量的二阶矩（距离² × 质量）。
惯性矩的核心是用”距离平方加权“描述质量相对参考轴的分散程度，其数值越大转动惯性越大。
比如，同等质量的物体，因为距离平方的加权，它基于不同参考轴的惯性矩是不一样的。
在上图中，同样质量的长方体，右侧的惯性矩要大于左侧，因为距离b>a，右侧的离散程度更大，距离对质量的加权更大。
惯性矩是刚体转动分析（机器人、机械结构）的核心参数。
惯性矩根据其计算的对象，可分成2种：
举例说明多零件组合的惯性矩的应用。
已知：
求：A、B、C 组合基于关节D的旋转轴的惯性矩
公式：
解：
A、B、C 组合基于关节D的旋转轴的惯性矩是：
通常我们会假设一个刚体零件密度不变，即均质刚体，然后计算此刚体绕参考轴旋转的惯性矩。
一个刚体零件可以理解为微元集合。如下图所示：
单一均质刚体零件的惯性矩可以用微积分计算：
均质刚体的微元质量等于密度乘以微小体积：
dm=ρ⋅dV
许多常见的几何体都用现成的惯性矩公式，不用自己算积分。
均质细杆的质量 M，长度 L，半径R忽略不计
此时细杆的质心到参考轴的距离比第一种情况更远，所以分散程度更大，惯性矩更大。
均质圆柱的质量 M，半径 R，高度 L
上图的圆柱为长条状，惯性矩的质量集中在圆周，分散程度低，惯性矩小。
上图的圆柱为长条状，惯性矩的质量集中在长度方向，分散程度大，惯性矩大。
均质球体的质量 M，半径为R
均质立方体的质量 M，边长 a
此时正方体的质心到参考轴的距离比第一种情况更远，所以分散程度更大，惯性矩更大。
均质长方体的质量 M，长 a、宽 b、高 c
当参考轴过质心，与长度方向平行时：
在机器人场景中，均质长方体的惯性矩用的是比较多的。
比如，我们经常会把一个不规则零件以x、y、z轴为参考轴的惯性矩，作为均质长方体的惯性矩。
然后基于这种惯性矩，逆推均质长方体的尺寸。
有了尺寸后，就可以把长方体显示出来。
我们可以根据长方体的形状，大致判断机器人零件的惯性矩数据是否正确。
比如，下图的蓝色长方体就是我对宇树H1机器人的惯性矩做的可视化。
从上图可以看到，蓝色长方体的宽高比，基本与其所在的零件的宽高比一致，这就说明其零件的惯性矩数据比较合理。
由于均质长方体的惯性矩的重要性，同是为了加深大家对惯性矩的理解和认知，我会以均质正方体为例，说一下单一均质刚体的惯性矩公式的积分推导过程。
我们接下来要推导的是：参考轴过质心，平行于棱的均质正方体的惯性矩公式。
这种情况是最常用到的。
单一均质刚体零件的惯性矩需要用微积分计算：
在微积分的世界里，正方体可以视之为无数个微元的集合，每个微元都有自己的微小质量。
正方体的惯性矩就是（微元到参考轴的距离的平方乘以微元质量）的积分。
以此原理，计算正方体的惯性矩步骤如下：
1.对一个截面中的微元做积分运算。
因为正方体可以视之为垂直于参考轴的截面的集合，所以可以先计算一个截面中的（微元到参考轴的距离的平方乘以微元质量）的积分。如下图所示：
2.对截面做积分运算。
将一个截面的积分延参考轴做积分，就可以得到正方体的惯性矩。
已知：
求：均质正方体的惯性矩
解：
1.确定均质正方体的惯性矩的微积分公式
设正方体中任一微元的位置是(x,y,z)
任一微元到x轴的距离的是：
任一微元的惯性矩是：
由微元组成的任一垂直于x轴的正方体截面的惯性矩是：
由截面组成的正方体的惯性矩是：
2.确定微元质量表达式
均质刚体微元质量 = 密度 × 微元体积
直角坐标系下的微元体积dV：
因此，微元质量dm可以写做：
同时，根据正方体的总体积V，总质量M，可推导密度与总质量的关系：
因此，微元质量dm可以写做：
3.将微元质量表达式带入微积分公式
因为密度ρ 是常数，可以提到积分之外：
因为(y²+z²) 与x没有关系，所以上式可以理解为（基于x的单积分）乘以（基于y、z 的二重积分）：
这种拆分方式可以理解为：（正方体的x轴向尺寸a）乘以（正方体中垂直于x轴的任一截面的惯性矩）
4.计算基于x的单积分
根据幂函数积分公式：
计算基于x的单积分：
5.计算基于y、z 的二重积分
根据满足线性性质的二重积分拆分公式：
拆分基于y、z 的二重积分：
因为y² 中没有z，z² 中没有y，所以拆分后的2个二重积分可以分别变换为2个二重积分的相乘：
根据幂函数积分公式：
计算拆分出的一重积分：
整合基于y、z 的二重积分结果：
6.整合所有结果
大家可以参考正方体惯性矩公式的推导过程，推导一下均质长方体的惯性矩。
当均质长方体的参考轴过质心，与长度方向平行时，其惯性矩公式为：
在机器人场景中，经常会使用宽、高、深的尺寸为2a、2b、2c的均质长方体，如下图所示：
当长方体的尺寸被定义为2a、2b、2c是，a、b、c 就叫做半边长。
这种尺寸定义方式的优点是：质心到面的距离更直观，简化通过惯性矩反向推导尺寸的逻辑。
此时，均质长方体的惯性矩公式就应该是：
在机器人场景中，我们经常会将机器人零件基于x、y、z 轴的惯性矩当成均质长方体惯性矩。
如下面的标签就是机器人URDF 文件中的一部分，其中的ixx、iyy、izz 就是机器人零件基于x、y、z 轴的惯性矩。
name="base">
rpy="0.0 0.0 0.0" xyz="0.0 0.0 0.0"/>
value="0.01"/>
ixx="0.0001" ixy="0.0" ixz="0.0" iyy="0.0002" iyz="0.0" izz="0.0003"/>
基于此惯性矩逆推出长方体的尺寸，然后结合零件的位置和旋转数据，将长方体可视化。
这种惯性矩可视化的作用是：根据长方体的尺寸比例与零件是否一致，判断零件的惯性矩是否有问题。
根据惯性矩逆推长方体尺寸步骤如下：
1.校验惯性矩的物理合理性
基础校验：质量和惯性矩必须非负，否则皆代表惯性矩不合理。
以下情况皆不合理：
三角不等式校验：惯性矩的刚体约束。
任意刚体的三轴惯性矩，必须满足：任意两轴之和≥第三轴。
以下情况皆不合理：
2.构建三元一次方程组，计算尺寸
根据半边长的均质长方体的惯性矩公式，我们可以构建一个三元一次方程组：
解三元一次方程组，可得：
这一章我们从惯性和矩，详解了惯性矩。
惯性大小仅由质量决定。
惯性矩的大小，除了受质量影响，还会受到距离的加成，这也是为什么同等质量的物体在不同参考轴上有不同的惯性矩。
后面我们还以均质正方体为例，推导了它的惯性矩公式。
单零件惯性矩的计算，是要用到微积分的。
若有同学对微积分缺少具象的认知，可以跟我说，我会以几何可视化的方式告诉大家微积分里的一些基本概念。